一元四次方程求根公式

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一元四次方程求根公式,是数学代数学基本公式,由意大利数学家费拉里首次提出证明。一元四次方程是未知数最高次数不超过四次的多项式方程,应用化四次为二次的方法,结合盛金公式求解。适用未知数最高次项的次数不大于四的多项式方程。其解法是受一元三次方程求解方法的启发而得到的。除最初解法外,该方程是还有其他简便解法。

意大利数学家费拉里一元四次方程的解法 卡当在《重要的艺术》一书中公布了塔塔利亚发现的一元三次方程求根公式之后,塔塔利亚谴责卡当背信弃义,提出要与卡当进行辩论与比赛。这场辩论与比赛在米兰市的教堂进行,代表卡当出场的是卡当的学生费拉里。 费拉里(Ferrari L.,1522~1565)出身贫苦,少年时代曾作为卡当的仆人。卡当的数学研究引起了他对数学的热爱,当其数学才能被卡当发现后,卡当就收他作了学生。 费拉里代替卡当与塔塔利亚辩论并比赛时,风华正茂,他不仅掌握了一元三次方程的解法,而且掌握了一元四次方程的解法,因而在辩论与比赛中取得了胜利,并由此当上了波伦亚大学的数学教授。 一元四次方程的求解方法,是受一元三次方程求解方法的启发而得到的。一元三次方程是在进行了巧妙的换元之后,把问题归结成了一元二次方程从而得解的。于是,如果能够巧妙地把一元四次方程转化为一元三次方程或一元二次方程,就可以利用已知的公式求解了。

费拉里的方法是这样的:方程两边同时除以最高次项的系数可得 x^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 (1)移项可得 x^4+bx^3=-cx^2-dx-e (2) 两边同时加上(1/2bx)^2 ,可将(2)式左边配成完全平方,方程成为 (x^2+1/2bx)^2=(1/4b^2-c)x^2-dx-e (3) 在(3)式两边同时加上(x^2+1/2bx)y+1/4y^2 可得 [(x^2+1/2bx)+1/2y]^2= (1/4b^2-c+y)x^2+(1/2by-d)x+1/4y^2-e (4) (4)式中的y是一个参数。当(4)式中的x为原方程的根时,不论y取什么值,(4)式都应成立。特别,如果所取的y值使(4)式右边关于x的二次三项式也能变成一个完全平方式,则对(4)对两边同时开方可以得到次数较低的方程。 为了使(4)式右边关于x的二次三项式也能变成一个完全平方式,只需使它的判别式变成0,即 (1/2by-d)^2-4(1/4b^2-c+y)(1/4y^2-e)=0 (5) 这是关于y的一元三次方程,可以通过塔塔利亚公式来求出y应取的实数值。 把由(5)式求出的y值代入(4)式后,(4)式的两边都成为完全平方,两边开方,可以得到两个关于x的一元二次方程。解这两个一元二次方程,就可以得出原方程的四个根。 费拉里发现的上述解法的创造性及巧妙之处在于:第一次配方得到(3)式后引进参数y,并再次配方把(3)式的左边配成含有参数y的完全平方,即得到(4)式,再利用(5)式使(4)的右边也成为完全平方,从而把一个一元四次方程的求解问题化成了一个一元三次方程及两个一元二次方程的求解问题。

不幸的是,就象塔塔利亚发现的一元三次方程求根公式被误称为卡当公式一样,费拉里发现的一元四次方程求解方法也曾被误认为是波培拉发现的。

说明:X1,X2,X3是某个三次方程的对称多项式(X1+X2+X3,X1*X2+X2*X3+X3*X1,X1*X2*X3均可求),利用三次方程求根公式解出X1,X2,X3;又有X=x1+x2+x3+x4=ω1,接下来根据X,X1,X2,X3解x1,x2,x3,x4

若ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 令 D=-(3b^2-8ac)

E=3b^4+16a^2c^2-16ab^2c+16a^2bd-64a^3e F=-(b^3-4abc+8a^2d)^2

A=D^2-3E,B=DE-9F,C=E^2-3DF,Δ=B^2-4AC

x1=x2=x3=x4=-b/4a=-2c/3b=-3c/2d=-4d/e

x1=-b/4a-F/4aD x2=x3=x4=-b/4a+3F/4aD

x1=x2=(-b+(-D)^(1/2))/4a x3=x4=(-b-(-D)^(1/2))/4a

x1=(-b+X1^(1/2)+2X2^(1/2))/4a x2=(-b+X1^(1/2)-2X2^(1/2))/4a x3=x4=(-b+X1^(1/2))/4a

5.若Δ0,令T=arccos[(2AD-3B)/2A^(3/2)]

x1=(-b+y1^(1/2)+y2^(1/2)+y3^(1/2))/4a

x2=(-b+y1^(1/2)-y2^(1/2)-y3^(1/2))/4a

x3=(-b-y1^(1/2)-y2^(1/2)+y3^(1/2))/4a

x4=(-b-y1^(1/2)+y2^(1/2)-y3^(1/2))/4a

x1=(-b+Z^(1/2)+2W1)/4a x2=(-b+Z^(1/2)-2W1)/(4a)

x3=(-b-Z^(1/2)-2W2)/4a x4=(-b-Z^(1/2)+2W2)/(4a)

可见,这个公式是“求根公式(费拉里法)”的一个特例。这个公式不仅复杂、难用,而且还不能处理 m = 0 的情况,如:求解方程

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